Analisi Stocastica
A.A. 2015-2016, secondo semestre
LM Matematica
DMI unipr
F. Morandin

Syllabus dell'insegnamento

1. Misurabilità di una va si può controllare su un insieme di generatori
2. Processo di Bernoulli
3. Passeggiata aleatoria semplice simmetrica (SSRW)
4. Misurabilità di un processo stocastico sse misurabilità componenti (**)
5. Legge di una variabile aleatoria
6. Leggi marginali non fissano quelle finito-dimensionali (hw: costruire esempio)
7. Leggi finito-dimensionali fissano quella globale (hw: dim)
8. Processi indistinguibili, modificazioni e versioni (hw: esempio di versioni non modificazioni)
9. Indipendenza tra sigma-algebre, eventi, variabili aleatorie (hw: X_i vvaa indipendenti e f_i funzioni misurabili, allora f_i(X_i) indipendenti)
10. Indipendenza si può verificare su pi-system che generano
11. Moto Browniano
12. Thm di estensione di Kolmogorov (**)
13. Thm di regolarità di Kolmogorov (***)
14. Esistenza del moto Browniano (*)
15. Modi di convergenza di successioni di vvaa
16. Varianza, covarianza, matrice di covarianza
17. Legge Gaussiana, vettori Gaussiani, processi Gaussiani (hw: X vettore Gaussiano, allora MX vettore Gaussiano)
18. Funzione di covarianza, compatibilità delle leggi finito-dimensionali (**) (hw: che condizione sulla funzione per ottenere traiettorie continue?)
19. Brownian bridge B_t-tB_1 (hw: è un processo Gaussiano, trovare funzione di covarianza)
20. Spazio di Wiener
21. Variazione totale, funzioni BV
22. Variazione quadratica di un processo e del BM (*)
23. Traiettorie Browniane sono non BV non Hoelderiane per alfa>1/2 (**)
24. Filtrazione, processo adattato, processo progressivamente misurabile
25. Adattato implica progr.mis, viceversa con continuità a destra (**)
26. Moto Browniano rispetto ad una filtrazione; thm: la filtrazione naturale va bene (**)
27. Speranza condizionale; ipotesi L1 si può omettere
28. Proprietà a-k) tranne dimostrazione k) (*)
29. Esistenza e unicità della speranza condizionale (**)
30. Processi semplici, loro integrale stocastico, isometria di Ito (hw: buona definizione, linearità)
31. Distribuzione di I(X) per X semplice: media, varianza, speranza condizionale e momento secondo condizionale (*)
32. Distribuzione di I(X) per X in M2: media, varianza, speranza condizionale e momento secondo condizionale (**)
33. Integrale stocastico per procssi M2, buona definizione, linearità, isometria di Ito
34. Densità dei processi semplici in M2 (***)
35. Martingale (super, sub), il BM è una martingala; il processo integrale stocastico è una martingala
36. X martingala, f convessa, allora f(x) submartingala; martingala quadratica del processo integrale stocastico
37. Integrale stocastico discreto; mantiene la proprietà di martingala
38. Tempi d'arresto (hw: equivalenza definizioni); processi arrestati; rappresentazione come integrale stocastico discreto; hitting time
39. Optional stopping thm a tempi discreti (*) (hw: ultimo caso con lemma di Fatou)
40. SSRW con due barriere: probabilità di assorbimento (*) e tempo medio (**)
41. Somma, min e max di due tempi di arresto è un tempo di arresto
42. Sigma-algebra di un tempo di arresto; buona definizione in caso di tempo di arresto deterministico; misurabilità di X_tau
43. Optional sampling theorem a tempi discreti (**) (hw: esempio di submartingala e tempo di arresto tau t.c. X_tau non integrabile)
44. Corollario o. Sampling thm (**)
45. Disuguaglianza massimale a tempi discreti (*)
46. Hitting time a tempi continui, per processi adattati continui e insieme chiuso; secondo caso senza dimostrazione
47. Reward: 1 punto in più in verbalizzazione a chi trova l'errore nelle dispense di Caravenna
48. Sigma-algebra di un tempo di arresto (hw: misurabilità di X_tau)
49. Uniforme integrabilità; famiglia di speranze condizionali di X fissata rispetto a sigma-algebre è u.i. (**)
50. Optional sampling theorem a tempi continui (***)
51. Disuguaglianza massimale a tempi continui (*)
52. Martingala arrestata è una martingala a tempi continui (**)
53. Continuità traiettorie integrale stocastico (*)
54. Teorema di localizzazione per integrale di Ito (**)
55. Integrale stocastico di processi M2_loc; buona definizione, generalizza integrale di processi M2 (**)
56. Proprietà dell'integrale stocastico di processi M2_loc; senza dimostrazione integrale fino a tempo di arresto
57. Continuità come operatore rispetto alle topologie giuste (**)
58. Processsi di Ito; loro variazione quadratica; integrale stocastico rispetto ad un processo di Ito
59. Formula di Ito, senza dimostrazione
60. Equazioni differenziali stocastiche: soluzioni forti, deboli, unicità pathwise e in legge
61. Thm di buona posizione per SDE con coefficienti Lipschitziani senza dimostrazione
62. Esempio SDE moto Browniano geometrico; esempio SDE processo di Orstein-Uhlenbeck

Note: Le dimostrazioni presentate durante le lezioni del corso vanno
studiate a diversi livelli:
- quelle più semplici e dirette, che possono essere pensate come
  semplici verifiche, vanno sapute in ogni caso
- le altre sono segnate con (*), (**) o (***) a seconda della
  complessità: le (*) vanno sapute in ogni caso; le (**) e (***)
  possono essere chieste all'esame se dichiarato dal docente quando
  vengono fissati gli argomenti dell'esame [al massimo 3 di cui una
  (***)]
- le definizioni e gli enunciati vanno saputi tutti; se una
  dimostrazione non è segnata con (*), (**) o (***), va saputa
- gli homework contano come (**)